如圖,由y=0,x=8,y=x2圍城的曲邊三角形,在曲線OB弧上求一點M,使得過M所作的y=x2的切線PQ與OA,AB圍城的三角形PQA的面積最大.
考點:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題:計算題,導數(shù)的綜合應用
分析:設 M(x0,y0),PQ:y=k(x-x0)+y0,求出y=x2的導數(shù),求出切線的斜率,令x=8,y=0求得P,Q的坐標,
再求出三角形PQA的面積,再由導數(shù)求出最大值.
解答: 解:設 M(x0,y0),PQ:y=k(x-x0)+y0
則  y0=
x
2
0
,y′=2x|x=x0=2x0
即k=2x0所以y=2x0(x-x0)+y0
令y=0則x=x0-
y0
2x0
=
1
2
x0,
P(
x0
2
,0)

令x=8則y=16x0-
x
2
0

Q(8,16x0-
x
2
0
)

S=S△PAQ=
1
2
(8-
x0
2
)(16x0-
x
2
0
)

=64x0-8
x
2
0
+
1
4
x
3
0

S′=64-16x0+
3
4
x
2
0

令S'=0,則x0=16(舍去)或x0=
16
3

16
3
處S'左正右負,即為極大值點,也是最大值點.
即當x0=
16
3
時,Smax=
4096
27

此時y0=(
16
3
)2=
256
9

M(
16
3
256
9
)
點評:本題考查導數(shù)的幾何意義,運用導數(shù)求切線方程,求最值,考查運算能力,是一道中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
-x2+3x+10
,求f(x)的單調區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,函數(shù)f(x)=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω>0,0≤θ≤
π
2
)的圖象與y軸相交于點(0,
3
),且該函數(shù)相鄰兩零點距離為
π
2

(Ⅰ)求θ和ω的值;
(Ⅱ)若f(
1
2
x-
π
12
)=
8
5
,x∈(0,π),求
sinx+sin2x
1+cosx+cos2x
值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=|x|+
x2
,判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=sinx在x=π處的切線方程為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知定點F(-1,0),N(1,0),以線段FN為對角線作周長是8的平行四邊形MNEF.
(Ⅰ)求點E、M所在曲線C的方程;
(Ⅱ)過點N的直線l:x=my+1與曲線C交于P,Q兩點,則△FPQ的內切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值及直線l的方程;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x+
1
2x
+2,其中x∈[1,+∞),試判斷f(x)的單調性并求出f(x)的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
4
=1上一點到橢圓兩焦點的距離之和為4
2

(Ⅰ)求a的值及橢圓的離心率;
(Ⅱ)順次連結橢圓的頂點得到菱形A1B1A2B2,求該菱形的內切圓方程;
(Ⅲ)直線l與(Ⅱ)中的圓相切并交橢圓于A,B兩點,求|AB|的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合A={y|y=x2-2x-1},B={x|x=-y2+2y+5},則A∩B=
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案