Question

1．如圖，平面ABE⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，∠CBA=90°，AD∥BC∥EF，△ABE為等邊三角形，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，AD=4，EF=3
（Ⅰ）求證：平面CDF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線AF與平面CDF所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB，CD的中點H，G，連接GH，GF，EH，證明：四邊形EFGH是平行四邊形，F(xiàn)G∥EH，EH⊥平面ABCD，可得FG⊥平面ABCD，即可證明平面CDF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）連接AG，證明∠AFG為直線AF與平面CDF所成角，即可求直線AF與平面CDF所成角的正切值．

解答 （Ⅰ）證明：如圖所示，取AB，CD的中點H，G，連接GH，GF，EH，則HG∥AD∥BC∥EF，
∵BC=2，AD=4，∴HG=3，
∵EF=3，∴EF=HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，∴FG∥EH
∵△ABE為等邊三角形，∴EH⊥AB，
∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，
∴EH⊥平面ABCD，
∴FG⊥平面ABCD，
∵FG?平面CDF，
∴平面CDF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：連接AG，由題意，可得CD=4，∠ADC=60°，∵AD=4，∴AG=2$\sqrt{3}$，
∴AG⊥GD，
∵平面CDF⊥平面ABCD，平面CDF∩平面ABCD=CD
∴AG⊥平面CDF，∴∠AFG為直線AF與平面CDF所成角，
∵AG=2$\sqrt{3}$，F(xiàn)G=3，
∴tan∠AFG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即直線AF與平面CDF所成角的正切值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．