14.已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x-3|(a<3).
(1)若不等式f(x)≥4的解集為{x|x≤$\frac{1}{2}$或x$≥\frac{9}{2}$},求a的值;
(2)若對?x∈R,f(x)+|x-3|≥1,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)利用f(x)=|x-a|+|x-3|(a<3)的圖象關于直線x=$\frac{a+3}{2}$對稱,且f(x)≥4的解集為{x|x≤$\frac{1}{2}$或x$≥\frac{9}{2}$},則有 $\frac{1}{2}$+$\frac{9}{2}$=a+3,由此求得a的值.
(2)由題意可得|x-a|+|x-3|≥1-|x-3|恒成立,求得左邊的最小值3-a,和右邊的最大值1,故有3-a≥1,由此求得a的范圍.

解答 解:(1)由已知易得函數(shù)f(x)=|x-a|+|x-3|(a<3)的圖象關于直線x=$\frac{a+3}{2}$對稱,
又f(x)≥4的解集為{x|x≤$\frac{1}{2}$或x$≥\frac{9}{2}$},則 $\frac{1}{2}$+$\frac{9}{2}$=a+3,即a=2.
(2)不等式f(x)+|x-3|≥1 恒成立,即|x-a|+|x-3|≥1-|x-3|恒成立,
由圖象可知f(x)=|x-a|+|x-3|在x=3處取得最小值3-a,
而1-|x-3|在x=3處取得最大值為1,故3-a≥1,得a≤2.

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù),絕對值不等式的解法,函數(shù)的恒成立問題,屬于中檔題.

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