Question

16．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（-x）+f（x+3）=0；當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，f（x）=$\frac{elnx}{x}$，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且e≈2.72，則方程6f（x）-x=0在[-9，9]上的解的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 確定f（x）的周期為3，函數(shù)在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，3）上單調(diào)遞減，在[0，9]上作出y=f（x）的圖象，作出y=$\frac{x}{6}$的圖象，即可得出結(jié)論．

解答 解：依題意，f′（x）=$\frac{e（1-lnx）}{{x}^{2}}$，故函數(shù)f（x）在上（0，e）單調(diào)遞增，在（e，3）上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，f（x）_max=f（e）=1，
又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（-x）+f（x+3）=0，即f（x+3）=f（x），且f（0）=0；
由6f（x）-x=0可知，f（x）=$\frac{x}{6}$．
在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=f（x）與y=$\frac{x}{6}$在[-9，9]上的圖象如下圖所示，

觀察可知，y=f（x）與y=$\frac{x}{6}$有7個(gè)交點(diǎn)，即方程6f（x）-x=0的解有7個(gè)，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查單調(diào)性和極值，函數(shù)的奇偶、周期性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．