Question

5．在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1、2、3的三張卡片．現(xiàn)從這個(gè)盒子中隨機(jī)抽取一張卡片，標(biāo)號(hào)記為x，放回盒子后再隨機(jī)抽取一張，標(biāo)號(hào)記為y，設(shè)ξ=|x-2|+|y-x|
（1）求隨機(jī)變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（2）求隨機(jī)變量ξ分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由x，y可能取值為1、2、3．可得|x-2|≤1，|y-x|≤2，ξ≤3．可得隨機(jī)變量ξ的最大值為3．由于有放回抽兩張卡片的所有情況有9 （種），即可得出P（ξ=3）．
（2）ξ所有取值0、1、2、3．通過分類討論即可得出P（ξ=k）．

解答 解：（1）∵x，y可能取值為1、2、3．∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，∴ξ≤3．
且當(dāng)x=1，y=2，或x=3，y=1時(shí)，ξ=3．
因此，隨機(jī)變量ξ的最大值為3．
因?yàn)橛蟹呕爻閮蓮埧ㄆ�的所有情況有3×3=9 （種），
P（ξ=3）=$\frac{2}{9}$．
（2）ξ所有取值0、1、2、3．
ξ=0時(shí)，只有x=2，y=2．
ξ=1時(shí)，有x=1，y=1．或x=2，y=1．或x=2，y=3．或x=3，y=3，共四種．
ξ=2時(shí)，有x=1，y=2，或x=3，y=2．
ξ=3時(shí)，有x=1，y=3，或x=3，y=1．

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{9}$

Eξ=0×$\frac{1}{9}$+1×$\frac{4}{9}$+2×$\frac{2}{9}$+3×$\frac{2}{9}$=$\frac{14}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．