18.已知{an}為公差不為零的等差數(shù)列,首項a1=a,{an}的部分項${a_{k_1}}$、${a_{k_2}}$、…、${a_{k_n}}$恰為等比數(shù)列,且k1=1,k2=5,k3=17.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an(用a表示);
(2)設數(shù)列{kn}的前n項和為Sn,求Sn

分析 (1)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出.
(2)利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出.

解答 解:(1)設等差數(shù)列的公差為d,據(jù)題有:${a_5}^2={a_1}•{a_{17}}$,即(a+4d)2=a(a+16d),
∴16d2=8ad,∵d≠0,∴$d=\frac{a}{2}$,
從而${a_n}={a_1}+(n-1)d=\frac{a(n+1)}{2}$.
(2)設等比數(shù)列的公比為q,則$q=\frac{a_5}{a_1}=3$,故${a_{k_n}}=a•{3^{n-1}}$,
另一方面,${a_{k_n}}=\frac{a}{2}({k_n}+1)$,
所以$\frac{a}{2}({k_n}+1)=a•{3^{n-1}}$,∵a≠0,∴${k_n}=2•{3^{n-1}}-1$,∴${S_n}={3^n}-n-1$.

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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