Question

3．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x≤0}\\{-{x}^{2}-2x+3，x＞0}\end{array}$，不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-2，0）
• B． （-∞，0）
• C． （0，2）
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 由分段函數(shù)知，分兩部分討論函數(shù)的單調(diào)性，從而可得f（x）在R上是減函數(shù)，化恒成立問(wèn)題為x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；從而化為最值問(wèn)題即可．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x≤0}\\{-{x}^{2}-2x+3，x＞0}\end{array}$，知：
①當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
故f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)；
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
又∵（0-2）²-1=-（0+1）²+4，
∴f（x）在R上是減函數(shù)，
∴不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立可化為
x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；
即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，
故2（a+1）＜a，
解得，a＜-2；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題化為最值問(wèn)題，屬于中檔題．