Question

8．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE與平面ABCD所成角為45°．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的大小．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥BD，AC⊥DE，由此能證明AC⊥平面BDE．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角F-BE-D的大小．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
∴AC⊥BD，
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵BE與平面ABCD所成角為45°，∴DE=BD=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，
則D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2$\sqrt{2}$），F(xiàn)（2，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{BE}$=（-2，-2，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BF}$=（0，-2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
設(shè)平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-2x-2y+2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
設(shè)平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-2a-2b+2\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-2b+\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取c=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1-1+0=0，
∴二面角F-BE-D的大小為$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．