Question

11．設(shè)知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$-x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y=0，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在定義域上不單調(diào)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)為x₁和x₂，記過點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直線的斜率為k，是否存在a，使得k≤$\frac{2e}{{{e^2}-1}}$a-2？若存在，求出a的取值集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y=0，可得f'（1）=0，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在定義域上不單調(diào)，分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求a的取值范圍；
（Ⅲ）若$k≤\frac{2e}{{{e^2}-1}}a-2$，則$\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}≤\frac{2e}{{{e^2}-1}}$，由（Ⅰ）知，不妨設(shè)x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）且有x₁•x₂=1，則得x₁-x₂≤$\frac{{e}^{2}-1}{2e}$（lnx₁-lnx₂），即$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂+$\frac{{e}^{2}-1}{2e}$lnx₂≤0，x₂∈（1，+∞），構(gòu)造函數(shù)，即可求出a的取值集合．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），并求導(dǎo)$f'（x）=-\frac{1}{x^2}-1+\frac{a}{x}=-\frac{{{x^2}-ax+1}}{x^2}$，
∴f'（1）=0，得a=2；
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），并求導(dǎo)$f'（x）=-\frac{1}{x^2}-1+\frac{a}{x}=-\frac{{{x^2}-ax+1}}{x^2}$，
令g（x）=x²-ax+1，其判別式△=a²-4，由已知必有△＞0，即a＜-2或a＞2；
①當(dāng)a＜-2時，g（x）的對稱軸$x=\frac{a}{2}＜1$且g（0）=1＞0，則當(dāng)x∈（0，+∞）時，g（x）＞0，
即f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意；
②當(dāng)a＞2時，g（x）的對稱軸$x=\frac{a}{2}＞1$且g（0）=1＞0，則方程g（x）=0有兩個不等x₁和x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），x₁•x₂=1，
當(dāng)x∈（0，x₁），x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＞0，
即f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞減；在（x₁，x₂）上單調(diào)遞增；
綜上可知，a的取值范圍為（2，+∞）；
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的a，由（1）知a＞2．
因?yàn)?f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}+（{x_2}-{x_1}）+a（ln{x_1}-ln{x_2}）$，
所以$k=\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}-1+a\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
若$k≤\frac{2e}{{{e^2}-1}}a-2$，則$\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}≤\frac{2e}{{{e^2}-1}}$，
由（1）知，不妨設(shè)x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）且有x₁•x₂=1，
則得x₁-x₂≤$\frac{{e}^{2}-1}{2e}$（lnx₁-lnx₂），即$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂+$\frac{{e}^{2}-1}{2e}$lnx₂≤0，x₂∈（1，+∞） …（*）
設(shè)F（x）=$\frac{1}{x}$-x+$\frac{{e}^{2}-1}{e}$lnx（x＞1），
并記x₁′=$\frac{1}{2}$[$\frac{{e}^{2}-1}{2e}$-$\sqrt{（\frac{{e}^{2}-1}{2e}）^{2}-4}$]，x₂′=$\frac{1}{2}$[$\frac{{e}^{2}-1}{2e}$+$\sqrt{（\frac{{e}^{2}-1}{2e}）^{2}-4}$]，
則由（1）②知，F(xiàn)（x）在$（1，x_2^/）$上單調(diào)遞增，在$（x_2^/，+∞）$上單調(diào)遞減，且$0＜x_1^/＜1＜x_2^/＜e$，
又F（1）=F（e）=0，所以當(dāng)x∈（1，e）時，F(xiàn)（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時，F(xiàn)（x）＜0，
由方程（*）知，F(xiàn)（x₂）≤0，故有x₂≥e，
又由（1）知$g（{x_2}）=x_2^2-a{x_2}+1=0$，知$a={x_2}+\frac{1}{x_2}≥e+\frac{1}{e}$（∵$y=x+\frac{1}{x}$在[e+∞）上單調(diào)遞增），
又a＞2，因此a的取值集合是$\{a|a≥e+\frac{1}{e}\}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．