Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=4，AC=2$\sqrt{3}$，BD=2，又點(diǎn)E在側(cè)棱PC上，且PC⊥平面BDE．
（1）求線段CE的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)A到平面PDC的距離．

Answer 1

分析 （1）由PC⊥平面BDE，連接OE，則OE⊥PC．利用勾股定理可得PC=2$\sqrt{7}$．求出點(diǎn)A到PC的距離d₁，可得OE=$\frac{1}{2}lrfbdv7_{1}$．在Rt△OEC中，CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$．
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，可得A到平面PDC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{n}|}$．

解答 解：（1）∵PC⊥平面BDE．BD∩AC=O，連接OE，則OE⊥PC．
在Rt△PAC中，PA=4，AC=2$\sqrt{3}$，∴PC=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
∴點(diǎn)A到PC的距離d₁=$\frac{4×2\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$．則OE=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
在Rt△OEC中，CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{2\sqrt{21}}{7}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
A（0，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），D（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，4）．
$\overrightarrow{PC}$=（0，2$\sqrt{3}$，-4），$\overrightarrow{DC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，4）．
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}y-4z=0}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=$（2\sqrt{3}，-2，-\sqrt{3}）$．
∴點(diǎn)A到平面PDC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{57}}{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、距離的計(jì)算、線面垂直判定與性質(zhì)定理、勾股定理、法向量的應(yīng)用、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．