Question

1．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（底面是正三角形，側(cè)棱垂直底面）的各條棱長(zhǎng)均相等，D為AA₁的中點(diǎn)．M、N分別是BB₁、CC₁上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足BM=C₁N．
當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中正確的是①②④（填上所有正確命題的序號(hào)）．
①平面DMN⊥平面BCC₁B₁；
②三棱錐A₁-DMN的體積為定值；
③△DMN可能為直角三角形；
④平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為$（0，\frac{π}{4}]$．

Answer 1

分析 由BM=C₁N，得線段MN必過(guò)正方形BCC₁B₁的中心O，由DO⊥平面BCC₁B₁，可得平面DMN⊥平面BCC₁B₁；
由△A₁DM的面積不變，N到平面A₁DM的距離不變，得到三棱錐A₁-DMN的體積為定值；
利用反證法思想說(shuō)明△DMN不可能為直角三角形；
平面DMN與平面ABC平行時(shí)所成角為0，當(dāng)M與B重合，N與C₁重合時(shí)，平面DMN與平面ABC所成的銳二面角最大．

解答 解：如圖，

當(dāng)M、N分別在BB₁、CC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若滿足BM=C₁N，則線段MN必過(guò)正方形BCC₁B₁的中心O，而DO⊥平面BCC₁B₁，∴平面DMN⊥平面BCC₁B₁，①正確；
當(dāng)M、N分別在BB₁、CC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△A₁DM的面積不變，N到平面A₁DM的距離不變，∴棱錐N-A₁DM的體積不變，即三棱錐A₁-DMN的體積為定值，②正確；
若△DMN為直角三角形，則必是以∠MDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BC₁，而此時(shí)DM，DN的長(zhǎng)大于BB₁，∴△DMN不可能為直角三角形，③錯(cuò)誤；
當(dāng)M、N分別為BB₁，CC₁中點(diǎn)時(shí)，平面DMN與平面ABC所成的角為0，當(dāng)M與B重合，N與C₁重合時(shí)，平面DMN與平面ABC所成的銳二面角最大，為∠C₁BC，等于$\frac{π}{4}$．
∴平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為（0，$\frac{π}{4}$]，④正確，
∴正確的是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．