Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^4}+k{x^2}+1}}{{{x^4}+{x^2}+1}}\;（k＞1）$，若對(duì)任意三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c（可以相同），存在一個(gè)三角形，其三邊長(zhǎng)為f（a），f（b），f（c），則k的取值范圍是（1，4）．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)基本不等式的性質(zhì)確定f（x）的取值范圍，從而解得．

解答 解：f（x）=1+$\frac{（k-1{）x}^{2}}{{x}^{4}{+x}^{2}+1}$，
當(dāng)k＞1時(shí)，$\frac{（k-1{）x}^{2}}{{x}^{4}{+x}^{2}+1}$=$\frac{k-1}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+1}$，
∵x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)，等號(hào)成立）；
故1≤f（x）≤1+$\frac{k-1}{3}$，
故只需使2＞$\frac{k-1}{3}$+1，
解得，k＜4；
綜上所述，1＜k＜4，
故答案為：（1，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的化簡(jiǎn)以及轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用．