Question

6．已知點(diǎn) A（-4，0），B（4，0），C（0，4），直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則 b的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，4-2\sqrt{2}}）$
• B． $（{4-2\sqrt{2}，2}）$
• C． $（{4-2\sqrt{2}，\frac{4}{3}}]$
• D． $（{\frac{4}{3}，2}]$

Answer 1

分析 先求得直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（-$\frac{a}$，0），由-$\frac{a}$≤0可得點(diǎn)M在射線OA上．求出直線和BC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用面積公式、點(diǎn)到直線以及兩點(diǎn)之間的距離公式再分三種情況分別討論：①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得 b＜2；③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得b＞4-2$\sqrt{2}$，綜合起來可得結(jié)論．

解答 解：由題意可得，三角形ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$•AB•OC=16，

由于直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（-$\frac{a}$，0），
由直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分可得點(diǎn)M在射線OA上．
設(shè)直線和BC的交點(diǎn)為 N，則由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{4-b}{a+1}$，$\frac{4a+b}{a+1}$），
①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，則-$\frac{a}$=-4，且$\frac{4a+b}{a+1}$=2，解得a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{4}{3}$，
②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，則點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于8，
即$\frac{1}{2}$•MB•y_N=8，
即$\frac{1}{2}$•（4+$\frac{a}$）•$\frac{4a+b}{a+1}$=8，解得b＜2，
③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則-$\frac{a}$＜-4，b＞4a，設(shè)直線y=ax+b和AC的交點(diǎn)為P，
則由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{x-y=-2}\end{array}\right.$，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{4-b}{a-1}$，$\frac{4a-b}{a-1}$），
此時(shí)，NP=$\frac{2|4-b|}{|a+1||a-1|}\sqrt{1+{a}^{2}}$，
此時(shí)，點(diǎn)C（0，4）到直線y=ax+b的距離等于$\frac{|b-4|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，
由題意可得，三角形CPN的面積等于4，化簡(jiǎn)可得（4-b）²=8|a²-1|．
由于此時(shí) 0＜a＜b＜2，
∴（4-b）²=8|a²-1|=8-8a² ．
兩邊開方可得4-b=2$\sqrt{2-2{a}^{2}}$＜2$\sqrt{2}$，則b＞4-2$\sqrt{2}$，
綜合以上可得，b的取值范圍是（4-2$\sqrt{2}$，2）．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查確定直線的要素，點(diǎn)到直線和兩點(diǎn)之間的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考查運(yùn)算能力和綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．