Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且

sinA

sinB+sinC

=

b-c

a-c

．
（1）求角B；
（2）求sinA•cosC的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）運(yùn)用正弦定理和余弦定理，即可得到B；
（2）運(yùn)用內(nèi)角和定理可得C，再由二倍角公式和兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理，

sinA

sinB+sinC

=

b-c

a-c

即為

a

b+c

=

b-c

a-c

，
化簡得：b²-c²=a²-ac即a²+c²-b²=ac，
由余弦定理可得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

．                 
由0＜B＜π，則B=

π

3

；                                  
（Ⅱ）由于A+C=

2π

3

，則sinAcosC=sinAcos（

2π

3

-A）
=sinA（-

1

2

cosA+

3

2

sinA），
=-

1

4

sin2A+

3

4

（1-cos2A），
=

3

4

-

1

2

sin（2A+

π

3

），
由B=

π

3

可知 0＜A＜

2π

3

，
所以

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
故-1≤sin（2A+

π

3

）≤1，
則

3

4

-

1

2

≤

3

4

-

1

2

sin（2A+

π

3

）≤

3

4

+

1

2

，
所以

3

4

-

1

2

≤sinAcosC≤

3

4

+

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．