Question

函數(shù)=Asin（ωx+θ）+b（A＞0，ω＞0，-π＜θ＜π）在一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=

π

6

時(shí)，y取最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為

π

2

．
（1）求此函數(shù)的解析式，
（2）求函數(shù)g（x）=

1

f(x+ π 6 )

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的定義域和值域

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先確定函數(shù)的周期，可得ω的值，利用函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在x=

π

6

處取得最大值2，即可求得f（x）的解析式；
（2）利用（Ⅰ）推出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，從而即可求出函數(shù)g（x）=

1

f(x+ π 6 )

的值域．

解答： 解：（1）其圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為

π

2

，所以b=0，這個(gè)距離就是半周期，
根據(jù)題意得

T

2

=

1

2

×

2π

ω

=

π

2

，∴ω=2，
∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+b（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在x=

π

6

處取得最大值2，
∴A=2，sin（2×

π

6

+φ）=1，∴φ=

π

6

，
∴f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
故所求的函數(shù)解析式為：f（x）=2sin（2x-

π

6

）．
（2）函數(shù)g（x）=

1

f(x+ π 6 )

=

1

2sin(2x+ π 6 )

，
f（x）=2sin（2x-

π

6

）的最大值2
∴g（x）∈[

1

2

，+∞），
故g（x）的值域?yàn)閇

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式，考查正弦函數(shù)的定義域和值域，正確求函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，屬于中檔題．