Question

數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos2

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n∈N₊．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

a2n-1

a2n

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，證明：S_n＜2（n∈N₊）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知結(jié)合a_n+2=（1+cos2

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n∈N₊，得到當(dāng)n=2k-1（k∈N₊）時(shí)，a_2k+1-a_2k-1=1．
當(dāng)n=2k（k∈N₊）時(shí)，a_2k+2=2a_2k．然后分別利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=

a2n-1

a2n

，利用錯(cuò)位相減法求出S_n=b₁+b₂+…+b_n，放縮證得S_n＜2（n∈N₊）．

解答： （Ⅰ）解：∵a₁=1，a₂=2，
∴由題設(shè)遞推關(guān)系式有a3=(1+cos2

π

2

)a1+sin2

π

2

=a1+1=2，a4=(1+cos2π)a1+sin2π=2a2=4．
一般地，當(dāng)n=2k-1（k∈N₊）時(shí)，
a2k+1=[1+cos2

(2k-1)π

2

]a2k-1+sin2

(2k-1)π

2

=a2k-1+1，
即a_2k+1-a_2k-1=1．
∴數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，因此a_2k-1=k．
當(dāng)n=2k（k∈N₊）時(shí)，
a2k+2=[1+cos2

2kπ

2

]a2k+sin2

2kπ

2

=2a2k，
∴數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列，因此a2k=2k．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

n+1 2 ，(n=2k-1，k∈N+) 2 n 2 ，(n=2k，k∈N+)

；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，
于是Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，…①
從而

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，…②
①-②得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

．
∴Sn=2-

n+2

2n

．
故有S_n＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差關(guān)系和等比關(guān)系的確定，考查了錯(cuò)位相減法去數(shù)列的和，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．