Question

10．已知A，B，C，D四點(diǎn)共面，BC=2，AB²+AC²=20，$\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CA}$，則|$\overrightarrow{BD}$|的最大值為10．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，設(shè)C（0，0），B（2，0），D（x，y）求出D點(diǎn)軌跡即可得出BD的最大距離．

解答 解：以C為原點(diǎn)，以直線CB為x軸建立平面坐標(biāo)系，
設(shè)B（2，0），D（x，y），∵$\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CA}$，∴A（$\frac{x}{3}$，$\frac{y}{3}$）．
∵AB²+AC²=20，
∴（$\frac{x}{3}$-2）²+$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=20，
∴（x-3）²+y²=81，
∴點(diǎn)D在以E（3，0），以r=9為半徑的圓E上，
∴BD的最大距離為BE+r=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量在幾何中的應(yīng)用，軌跡方程的求解，屬于中檔題．