Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx-sin2x-

3

2

，求
（1）函數(shù)f（x）的最小值及此時的x的集合．
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間
（3）函數(shù)f（x）在[-

π

2

，0]上的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角的正弦公式和余弦公式降冪，然后化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式，則最小值可求，由角2x+

π

6

的終邊落在y軸負(fù)半軸上求解x的取值集合；
（2）直接由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）由x的范圍求得2x+

π

6

的范圍，從而得到函數(shù)f（x）在[-

π

2

，0]上的值域．

解答： 解：（1）f(x)=

3

sinxcosx-sin2x-

3

2

=

3

2

×2sinxcosx-

1-cos2x

2

-

3

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x-2
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

-2
=sin(2x+

π

6

)-2．
∴函數(shù)f（x）的最小值為-3，此時2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z．
即x=kπ-

π

3

，k∈Z．
∴使函數(shù)f（x）取最小值的x的集合為{x|x=kπ-

π

3

，k∈Z}；
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
得

π

3

+2kπ≤2x≤

4π

3

+2kπ，k∈Z，即

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z．
（3）∵-

π

2

≤x≤0，∴-π≤2x≤0，-

5π

6

≤2x+

π

6

≤

π

6

，
則-1≤sin(2x+

π

6

)≤

1

2

，
∴-3≤sin(2x+

π

6

)-2≤-

3

2

．
∴函數(shù)f（x）在[-

π

2

，0]上的值域為[-3，-

3

2

]．

點評：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用二倍角的三角函數(shù)公式降冪，考查了三角函數(shù)的最值的求法，訓(xùn)練了與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，是中檔題．