Question

6．在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進10$\sqrt{3}$m至D點，測得頂端A的仰角為4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．

Answer 1

分析 由題意及仰角的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想，利用圖形中角與角的聯(lián)系，求出θ=15°，即可得出結(jié)論．

解答 解：由已知BC=30米，CD=10$\sqrt{3}$米，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，
在Rt△ABE中，BE=AEcotθ，
在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，
∴BC=BE-CE=AE（cotθ-cot2θ）．
同理可得：CD=AE（cot2θ-cot4θ）．
∴$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AE（cotθ-cot2θ）}{AE（cot2θ-cot4θ）}$，
即$\frac{cotθ-cot2θ}{cot2θ-cot4θ}$=$\sqrt{3}$，
而cotθ-cot2θ=$\frac{sin2θcosθ-cos2θsinθ}{sinθsin2θ}$=$\frac{1}{sin2θ}$．
同理可得cot2θ-cot4θ=$\frac{1}{sin4θ}$．
∴$\frac{sin4θ}{sin2θ}$=2cos2θ=$\sqrt{3}$
∴cos2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合題意可知：2θ=30°，θ=15°，
∴AE=$\frac{BC}{cotθ-cot2θ}$=BCsin2θ=15m．

點評 本題考查了學生會從題意中抽取出圖形進而分析問題，考查了學生們利用三角形解出三角形的邊與角，及二倍角的正切公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．