Question

14．心理學家分析視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取40名同學（男30名，女10名），給所有同學幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行答題，選擇情況如下表：單位（人）

	幾何題	代數(shù)題	總計
男同學	22	8	30
女同學	3	7	10
總計	25	15	40

（Ⅰ）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)？
（Ⅱ）經(jīng)過多次測試后，甲解答一道代數(shù)題所用時間在4～6分鐘，乙解答一道代數(shù)題所用時間在5～7分鐘，現(xiàn)甲乙各解同一道代數(shù)題，求甲比乙先解答完的概率．
下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測值公式中，做出觀測值，同所給的臨界值表進行比較，得到所求的值所處的位置，得到結(jié)論；
（Ⅱ）利用面積比，求出乙比甲先解答完的概率．

解答 解：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)，${K^2}=\frac{{40×{{（22×7-3×8）}^2}}}{30×10×25×15}≈6.0089＞5.024$，…4分
所以根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)．…6分
（Ⅱ）設甲乙解答同一道代數(shù)題所用的時間分別為x、y分種，事件A為“甲比乙先解答完此題”，則滿足區(qū)域為$\left\{\begin{array}{l}4≤x≤6\;，\;\\ 5≤y≤7\;，\;\\ x＜y\;，\;\end{array}\right.$…8分
由幾何概型的概率計算公式，得$P（A）=\frac{{4-\frac{1}{2}×1×1}}{4}=\frac{7}{8}$．…12分．

點評 本題考查幾何概型、獨立性檢驗的應用，考查根據(jù)列聯(lián)表做出觀測值，根據(jù)所給的臨界值表進行比較，本題是一個綜合題．