Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}+a}}{e^x}（{x∈R}）$（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71）．
（1）當a=-15時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{e}，e}]$上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導函數(shù)，由f′（x）＞0，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；由f′（x）＜0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）求導函數(shù)，根據(jù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為（x-1）²≤1-a在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，求出x∈[$\frac{1}{e}$，e]時，（x-1）²的最大值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=-15時，f（x）=（x²-15）e^-x，
求導函數(shù)，可得f′（x）=-（x-5）（x+3）e^-x，
令f′（x）=0得x=-3或x=5，
由f′（x）＞0，可得-3＜x＜5；由f′（x）＜0，可得x＜-3或x＞5，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-3，5），減區(qū)間為（-∞，-3），（5，+∞）；
（2）f′（x）=-（x²-2x+a）e^-x，
∵f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上是增函數(shù)，
∴f′（x）=-（x²-2x+a）e^-x≥0在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，
∴（x-1）²≤1-a在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，
當x∈[$\frac{1}{e}$，e]時，（x-1）²的最大值為（e-1）²，
∴（e-1）²≤1-a，
∴a≤2e-e²，
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2e-e²]．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查不等式的證明．恒成立問題通常利用分離參數(shù)法，利用函數(shù)的最值求解．