Question

某學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況，抽取甲、乙兩班，調(diào)查這兩個(gè)班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪成頻率分布直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同，甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[2，4]的有8人．

（1）求直方圖中a的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)；
（2）從甲、乙兩個(gè)班每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間大于10個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任取4人參加測(cè)試，設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由直方圖能求出a的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)．
（2）由已知得ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由直方圖知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，
解得a=0.0375，
因?yàn)榧装鄬W(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[2，4]的有8人，
所以甲班的學(xué)生人數(shù)為

8

0.2

=40，
所以甲、乙兩班人數(shù)均為40人．
所以甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)為40×0.0375×2=3（人）．
（2）乙班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)為40×0.05×2=4（人）．
由（1）知甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)為3人，
在兩班中學(xué)習(xí)時(shí)間大于10小時(shí)的同學(xué)共7人，
ξ的所有可能取值為0，1，2，3．
P(ξ=0)=

C 0 3 C 4 4

C 4 7

=

1

35

，
P(ξ=1)=

C 1 3 C 3 4

C 4 7

=

12

35

，
P(ξ=2)=

C 2 3 C 2 4

C 4 7

=

18

35

，
P(ξ=3)=

C 3 3 C 1 4

C 4 7

=

4

35

．
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 35	12 35	18 35	4 35

Eξ=0×

1

35

+1×

12

35

+2×

18

35

+3×

4

35

=

12

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．