Question

18．在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$和點R（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）
（1）若極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同，將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點P為曲線C上一動點，矩形PQRS以PR為其對角線，且矩形的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長的最小值及此時點P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化方法，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），則Q（2，sinθ），利用三角函數(shù)可得結(jié)論．

解答 解：（1）由 ρcosθ=x，ρsinθ=y代入到曲線C的極坐標(biāo)方程${ρ}^{2}=\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$中有：ρ²+2ρ²sin²θ=3，即x²+3y²=1為曲線C的普通方程．
（2）設(shè)P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），則Q（2，sinθ），則|PQ|=2-$\sqrt{3}$cosθ，|RQ|=2-sinθ，
所以|PQ|+|RQ|=4-2sin（θ+$\frac{π}{3}$），當(dāng)$θ=\frac{π}{6}$時，|PQ|+|RQ|的最小值為2，
所以矩形PQRS周長的最小值為4，此時點P的坐標(biāo)為P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運用，屬于中檔題．