Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1-x}{{1+{x^2}}}{e^x}$，x₁，x₂為兩不同實(shí)數(shù)，當(dāng)f（x₁）=f（x₂）時(shí)，有（　　）

• A． x₁+x₂＞0
• B． x₁+x₂＜0
• C． x₁+x₂=0
• D． 無(wú)法確定

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x＜1時(shí)，由于$\frac{1-x}{1+{x}^{2}}$＜0，e^x＞0，得到f（x）＞0；同理，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．
當(dāng)f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時(shí)，不妨設(shè)x₁＜x₂．
由題意可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．
下面證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即證（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
令g（x）=（1-x）ex-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$，則g′（x）=-xe^-x（e^2x-1）．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0．
即（1-x）ex-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
∴?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x₂∈（0，1），∴f（x₂）＜f（-x₂）．
從而，f（x₁）＜f（-x₂）．
由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．