已知橢圓C1與橢圓
x2
5
+
y2
2
=1有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓C1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓C1的左、右焦點(diǎn)，PF1⊥PF2，求△PF1F2的面積．
分析：（1）由于橢圓C1與橢圓
x2
5
+
y2
2
=1有相同的焦點(diǎn)，于是可設(shè)方程為
x2
m+3
+
y2
m
=1(m＞0)，把點(diǎn)(1，
3
2
)代入即可解得m．
（2）利用勾股定理和橢圓的定義即可得出．
解答：解：（1）∵橢圓C1與橢圓
x2
5
+
y2
2
=1有相同的焦點(diǎn)，
∴可設(shè)方程為
x2
m+3
+
y2
m
=1(m＞0)，
把點(diǎn)(1，
3
2
)代入可得
1
m+3
+
3
4m
=1，解得m=1．
∴橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1；
（2）由橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1可得c=
a2-b2
=
3
；
∵|PF1|2+|PF2|2=(2
3
)2=12，|PF1|+|PF2|=4，
∴|PF1|•|PF2|=2，
∴S△PF1F2=
1
2
|PF1| |PF2|=
1
2
×2=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：x-y+
5
=0與橢圓C1相切．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線l1過點(diǎn)F1且垂直與橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l2垂直于直線l1于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（3）若A（x1，2），B（x2，y2），C（x0，y0）是C2上不同的點(diǎn)，且AB⊥BC，求實(shí)數(shù)y0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•棗莊一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大值為3，圓C2：x2+y2+8x-2
3
y+7=0，點(diǎn)A是橢圓上的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C1上不與橢圓頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線AP與圓C2相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M是橢圓C1上不與橢圓頂點(diǎn)重合且異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)N，直線MP，NP分別交x軸于點(diǎn)E（x1，0），點(diǎn)F（x2，0），探究x1•x2是否為定值．若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C1的方程；
（II）直線l1過橢圓C1的左焦點(diǎn)F1，且與x軸垂直，動(dòng)直線l2垂直于直線l2，垂足為點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（III）設(shè)C2上的兩個(gè)不同點(diǎn)R、S滿足
OR
•
RS
=0，求|
OS
|的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•湖北）如圖，已知橢圓C1與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸均為MN且在x軸上，短軸長(zhǎng)分別為2m，2n（m＞n），過原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C1，C2的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D，記λ=
mn
，△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2．
（Ⅰ）當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，若S1=λS2，求λ的值；
（Ⅱ）當(dāng)λ變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1=λS2？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•嘉定區(qū)二模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）滿足a：b=
3
：
2
，且橢圓C1過點(diǎn)(
3
2
，
6
2
)．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線l1過點(diǎn)F1且垂直于橢圓C1的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l2垂直于l1且與l1交于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（3）設(shè)曲線C2與x軸交于點(diǎn)Q，C2上有與Q不重合的不同兩點(diǎn)R（x1，y1）、S（x2，y2），且滿足
QR
•
RS
=0，求點(diǎn)S的橫坐標(biāo)x2的取值范圍．

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