Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρ=4cosθ，直線l過點(diǎn)M（1，0）且傾斜角α=$\frac{π}{6}$．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，寫出直線l的參數(shù)方程；
（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，設(shè)參數(shù)，可得直線l的參數(shù)方程；
（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求出圓心到直線的距離，即可求|AB|的值．

解答 解：（1）∵ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x
即（x-2）²+y²=4
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是（x-2）²+y²=4                …（3分）
又因?yàn)橹本�l過點(diǎn)M（1，0）且傾斜角α=$\frac{π}{6}$
所以直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
也就是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．…（5分）
（2）由（1）知曲線C的圓心C（2，0），半徑r=2
而直線l的斜率$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以直線l的直角坐標(biāo)方程是x-$\sqrt{3}$y-1=0  …（7分）
圓心到直線的距離d=$\frac{|2-1|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$，∴|AB|=2$\sqrt{4-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{15}$     …（10分）

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．