Question

5．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，上底面是斜邊為AC的直角三角形，E、F分別是A₁B、AC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：平面AEF⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

分析 （1）證明EF∥BC，由此證明EF∥平面ABC；
（2）證明BB₁⊥EF，且EF⊥AB，得出EF⊥平面AA₁B₁B，從而證明平面AEF⊥平面AA₁B₁B．

解答 證明：（1）連接A₁C，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁C₁C是矩形，
所以點(diǎn)F在A₁C上，且F為A₁C的中點(diǎn)，
在△A₁BC中，E、F分別是A₁B、AC₁的中點(diǎn)，
所以EF∥BC；
又EF?平面ABC，BC?平面ABC，
所以EF∥平面ABC；
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
所以BB₁⊥BC，
因?yàn)镋F∥BC，
所以BB₁⊥EF；
又底面是斜邊為AC的直角三角形，故AB⊥BC，
所以EF⊥AB，
又BB₁∩AB=B，
所以EF⊥平面AA₁B₁B，
又EF?平面AEF，
所以平面AEF⊥平面AA₁B₁B．

點(diǎn)評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與空間想象能力，是綜合性題目．