【題目】如圖,三棱柱的側(cè)面是菱形,平面平面,直線與平面所成角為,,,為的中點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】分析:第一問(wèn)首先借助于線段的長(zhǎng)度關(guān)系,求得,之后借助于面面垂直得到直線與平面所成角的平面角,利用題中條件所給角的大小,得到,從而得到為正三角形進(jìn)一步得到,借助于面面垂直的有關(guān)性質(zhì),得到平面,下一步利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理證得結(jié)果,第二問(wèn)就是利用空間向量求解即可.
詳解:(1)證明:如圖所示,連接,,在矩形中,,為的中點(diǎn),所以,
又因?yàn)槠矫?/span>平面,
所以直線在平面上的射影是直線,
所以直線與平面所成角為,
因?yàn)橹本與平面所成角為,即,
所以為正三角形,又為的中點(diǎn),則,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,
又平面,所以,且,
所以平面,
又因?yàn)?/span>平面,
所以.
(2)解:設(shè)為中點(diǎn),則,所以,,兩兩互相垂直,以為原點(diǎn),分別以,,為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,
,,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即
令,得,
同理可求得平面的一個(gè)法向量為,
,
由圖知二面角為銳二面角,
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)證明:;
(2)證明:對(duì)任何正整數(shù)n,存在多項(xiàng)式函數(shù),使得對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立,其中均為整數(shù),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),;
(3)利用(2)的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某商品在過(guò)去20天的日銷售量和日銷售價(jià)格均為銷售時(shí)間t(天)的函數(shù),日銷售量(單位:件)近似地滿足: ,日銷售價(jià)格(單位:元)近似地滿
足:
(I)寫出該商品的日銷售額S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系;
(Ⅱ)當(dāng)t等于多少時(shí),日銷售額S最大?并求出最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn).設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且的最大值記為,最小值記為.
(1)求(用表示);
(2)當(dāng)時(shí),試問(wèn)以為長(zhǎng)度的線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形,如果不一定,進(jìn)一步求出的取值范圍,使它們能構(gòu)成一個(gè)三角形;
(3)求和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,根據(jù)預(yù)測(cè)可知,進(jìn)入世紀(jì)以來(lái),該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng).記年為第年,且前年中,第年與年產(chǎn)量萬(wàn)件之間的關(guān)系如下表所示:
若近似符合以下三種函數(shù)模型之一:,,.
(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型,并說(shuō)明理由,然后選取其中你認(rèn)為最適合的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式;
(2)因遭受某國(guó)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行反傾銷的影響,年的年產(chǎn)量比預(yù)計(jì)減少,試根據(jù)所建立的函數(shù)模型,確定年的年產(chǎn)量.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,若實(shí)數(shù)滿足,則a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司將進(jìn)貨單價(jià)為8元一個(gè)的商品按10元一個(gè)出售,每天可以賣出100個(gè),若這種商品的售價(jià)每個(gè)上漲1元,則銷售量就減少10個(gè).
(1)求售價(jià)為13元時(shí)每天的銷售利潤(rùn);
(2)求售價(jià)定為多少元時(shí),每天的銷售利潤(rùn)最大,并求最大利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某小區(qū)為了調(diào)查居民的生活水平,隨機(jī)從小區(qū)住戶中抽取個(gè)家庭,得到數(shù)據(jù)如下:
家庭編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
月收入x(千元) | 20 | 30 | 35 | 40 | 48 | 55 |
月支出y(千元) | 4 | 5 | 6 | 8 | 8 | 11 |
參考公式:回歸直線的方程是:,其中, .
(1)據(jù)題中數(shù)據(jù),求月支出(千元)關(guān)于月收入(千元)的線性回歸方程(保留一位小數(shù));
(2)從這個(gè)家庭中隨機(jī)抽取個(gè),求月支出都少于萬(wàn)元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,四邊形是矩形,和分別是和的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若平面平面,,求平面與平面所成角的余弦值.
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