Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³-3x，
（1）過點(diǎn)P（2，-6）作曲線y=f（x）的切線，求此切線的方程；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-m=0有三個不同的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t³-3t），利用導(dǎo)數(shù)求出在x=t處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）把判斷方程f（x）=m何時有三個不同的實(shí)數(shù)根的問題，轉(zhuǎn)化為判斷兩個函數(shù)何時有三個不同交點(diǎn)的問題，數(shù)形結(jié)合，問題得解．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²-3，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t³-3t），
則切線方程為y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切線過點(diǎn)P（2，-6），∴-6-（t³-3t）=3（t²-1）（2-t），
化簡得t³-3t²=0，∴t=0或t=3．
∴切線的方程：3x+y=0或24x-y-54=0．
（2）由f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，得x=1或x=-1．
當(dāng)x＜-1或x＞1時，f'（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜1時，f'（x）＜0，所以在（-∞，-1]和[1，+∞）
上f（x）單調(diào)遞增，在[-1，1]上f（x）單調(diào)遞減，在R上f（x）的極大值為f（-1）=2，
在R上f（x）的極小值為f（1）=-2．
函數(shù)方程f（x）=m在R上有三個不同的實(shí)數(shù)根，即直線y=m與函數(shù)f（x）=-3x+x³的圖象有三個交點(diǎn)，
由f（x）的大致圖象可知，當(dāng)m＜-2或m＞2時，直線y=m與函數(shù)f（x）=-3x+x³的圖象沒有交點(diǎn)；
當(dāng)m=-2或m=2時，y=m與函數(shù)f（x）=-3x+x³的圖象有兩個交點(diǎn)；
當(dāng)-2＜m＜2時，直線y=m與函數(shù)f（x）=-3x+x³的圖象有三個交點(diǎn)．
因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是-2＜m＜2．

點(diǎn)評 本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；求解函數(shù)的極值．