Question

6．在圓x²+y²=4上任取一點(diǎn)P，過(guò)P作x軸的垂線段，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記線段PD中點(diǎn)M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)$A（{-\sqrt{3}，0}），B（{\sqrt{3}，0}）$，試判斷（并說(shuō)明理由）軌跡C上是否存在點(diǎn)Q，使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），由于點(diǎn)M為線段的PD中點(diǎn)，推出P的坐標(biāo)代入圓的方程求解即可．
（Ⅱ）軌跡C上存在點(diǎn)Q，使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立，方法一：假設(shè)軌跡C上存在點(diǎn)Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$．得到a，b關(guān)系式，又Q（a，b）在$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上，然后求解a，b 說(shuō)明存在$Q（{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，±\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$或$Q（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，±\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立．
方法二：由（Ⅰ）知軌跡C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，假設(shè)軌跡C上存在點(diǎn)Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$，
即以AB為直徑的圓與橢圓要有交點(diǎn)，則必須滿足c≥b，得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），由于點(diǎn)M為線段的PD中點(diǎn)
則$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=x\\{y_0}=2y.\end{array}\right.$即點(diǎn)P（x，2y）…（3分）
所以點(diǎn)P在圓x²+y²=4上，即x²+4y²=4，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（6分）
（Ⅱ）軌跡C上存在點(diǎn)Q，使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立．…（7分）
方法一：假設(shè)軌跡C上存在點(diǎn)Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$．
因?yàn)?\overrightarrow{AQ}=（{a+\sqrt{3}，b}）$，$\overrightarrow{BQ}=（{a-\sqrt{3}，b}）$，所以$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}={a^2}-3+{b^2}=0$…①
…（9分）
又Q（a，b）在$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上，所以$\frac{a^2}{4}+{b^2}=1$…②…（10分）
聯(lián)立①②解得$a=±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
即存在$Q（{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，±\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$或$Q（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，±\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立．…（12分）
方法二：由（Ⅰ）知軌跡C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，焦點(diǎn)恰為$A（{-\sqrt{3}，0}），B（{\sqrt{3}，0}）$，$c=\sqrt{3}，b=1$．
…（8分）
假設(shè)軌跡C上存在點(diǎn)Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$，
即以AB為直徑的圓與橢圓要有交點(diǎn)，…（10分）
則必須滿足c≥b，這顯然成立，
即軌跡C上存在點(diǎn)Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．