Question

4．定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，$f（x）=\frac{1}{2}-|{x-\frac{3}{2}}|$；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a的零點(diǎn)從小到大依次為x₁，x₂，x₃，…x_n，…，若$a∈（{\frac{1}{2}，1}）$，則x₁+x₂+…+x_2n=6×（2ⁿ-1）．

Answer 1

分析 利用已知當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，$f（x）=\frac{1}{2}-|{x-\frac{3}{2}}|$；?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．可得當(dāng)x∈[2，4）時(shí)的解析式，同理，當(dāng)x∈[4，8）時(shí)，f（x）的解析式，分別作出y=f（x），y=a，則F（x）=f（x）-a在區(qū)間（2，3）和（3，4）上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為x₁，x₂，且滿足x₁+x₂=2×3，依此類推：x₃+x₄=2×6，…，x₂₀₁₃+x₂₀₁₄=2×3×2^n-1．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵①當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，$f（x）=\frac{1}{2}-|{x-\frac{3}{2}}|$；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．
當(dāng)x∈[2，4）時(shí)，$\frac{1}{2}x$∈[1，2），
f（x）=2f（$\frac{1}{2}$x）=2（$\frac{1}{2}$-|$\frac{1}{2}x$-$\frac{3}{2}$|）=1-|x-3|，x∈[4，8）時(shí)，$\frac{1}{2}x$∈[2，4），
f（x）=2f（$\frac{1}{2}$x）=2（1-|$\frac{1}{2}$x-3|）=2-|x-6|，
同理，則$a∈（{\frac{1}{2}，1}）$，F(xiàn)（x）=f（x）-a在區(qū)間（2，3）和（3，4）上各有1個(gè)零點(diǎn)，分別為x₁，x₂，且滿足x₁+x₂=2×3=6，
依此類推：x₃+x₄=2×6=12，x₅+x₆=2×12=24…，x_2n-1+x_2n=2×3×2^n-1．
∴當(dāng)$a∈（{\frac{1}{2}，1}）$時(shí)，x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=6×（1+2+2²+…+2^n-1）=6×$\frac{1（1-{2}^{n}）}{1-2}$=6×（2ⁿ-1），
故答案為：6×（2ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、區(qū)間轉(zhuǎn)換、對(duì)稱性、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于難題．