Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{7}cosθ}\\{y=\sqrt{7}sinθ}\end{array}}\right.（θ是參數(shù)）$，以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知直線l₁：$2ρsin（θ+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}=0$，射線${l_2}：θ=\frac{π}{3}（ρ＞0）$與曲線C的交點為P，l₂與直線l₁的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把參數(shù)方程消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程，再根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲線C的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）利用極坐標(biāo)方程求得P、Q的坐標(biāo)，可得線段PQ的長．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{7}cosθ}\\{y=\sqrt{7}sinθ}\end{array}}\right.（θ是參數(shù)）$，普通方程為（x-1）²+y²=7，
x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ-6=0；
（Ⅱ）設(shè)P（ρ₁，θ₁），則有$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}-2ρcosθ-6=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₁=3，θ₁=$\frac{π}{3}$，即P（3，$\frac{π}{3}$）．
設(shè)Q（ρ₂，θ₂），則有$\left\{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}=0}\\{θ=\frac{π}{3}（ρ＞0）}\end{array}\right.$，解得ρ₂=1，θ₂=$\frac{π}{3}$，即Q（1，$\frac{π}{3}$），
所以|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=2．

點評 本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程的應(yīng)用以及極坐標(biāo)的意義，屬于基礎(chǔ)題．