Question

【題目】已知函數f（x）=ex·（a++lnx），其中a∈R.

（I）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線y=-垂直，求a的值；

（II）當a∈（0，ln2）時，證明：f（x）存在極小值.

Answer 1

【答案】（1）a=0（2）見解析

【解析】分析：（1）由題意，求得函數的導數，由，即可求得的值；

（2）求得導數，得到與同號，令，求得，求得函數在存在，使得，進而得到在上點單調性，即可作出證明.

詳解：（I）f（x）的導函數為f'（x）=ex·（a++lnx）+ex·（-）

=ex·（a+-+lnx）.

依題意，有f'（1）=e·（a+1）=e，

解得a=0.

（II）由f'（x）=ex·（a+-+lnx）及ex>0知，f'（x）與a+-+lnx同號.

令g（x）=a+-+lnx，

則g'（x）==.

所以對任意x（0,+），有g'（x）>0，故g（x）在（0，+）單調遞增.

因為a∈（0，ln2），所以g（1）=a+l>0，g（）=a+ln<0，

故存在x0∈（，1），使得g（x0）=0.

f（x）與f'（x）在區(qū)間（，1）上的情況如下：

x	（,x0）	x0	（x0,1）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以f（x）在區(qū)間（，x0）上單調遞減，在區(qū)間（x0，1）上單調遞增.

所以f（x）存在極小值f（x0）.