如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長是2，D是側棱CC1的中點，直線AD與側面BB1C1C所成的角為45°．

(Ⅰ)求此正三棱柱的側棱長；

(Ⅱ)求二面角A―BD―C的大��；

(Ⅲ)求點C到平面ABD的距離．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)設正三棱柱－的側棱長為．取中點，連．

　　是正三角形，．

　　又底面側面，且交線為．側面．

　　連，則直線與側面所成的角為．

　　在中，，解得．此正三棱柱的側棱長為．

　　注：也可用向量法求側棱長．

　　(Ⅱ)解法1：過作于，連，

　　側面．為二面角的平面角．

　　在中，，又

　　，．

　　又在中，．

　　故二面角的大小為．

　　解法2：(向量法，見后)

　　(Ⅲ)解法1：由(Ⅱ)可知，平面，平面平面，且交線為，過作于，則平面．

　　在中，．

　　為中點，點到平面的距離為．

　　解法2：(思路)取中點，連和，由，易得平面平面，且交線為．過點作于，則的長為點到平面的距離．

　　解法3：(思路)等體積變換：由可求．

　　解法4：(向量法，見后)

　　題(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法：

　　(Ⅱ)解法2：如圖，建立空間直角坐標系．

　　則．

　　設為平面的法向量．

　　由　得．

　　取

　　又平面的一個法向量

　　．

　　結合圖形可知，二面角的大小為．

　　(Ⅲ)解法4：由(Ⅱ)解法2，

　　點到平面的距離＝．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都為a，P為線段A1B上的動點．
（Ⅰ）試確定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A1P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2cm，高位5cm，一質點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的最短路線的長為
13
13
cm．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都為a，P為A1B上的點．
（1）試確定
A1P
PB
的值，使得PC⊥AB；
（2）若
A1P
PB
=
2
3
，求二面角P-AC-B的大��；
（3）在（2）的條件下，求C1到平面PAC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，D是AC的中點，∠C1DC=600，則異面直線AB1與C1D所成角的余弦值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•重慶三模）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為a，截面AB1C和A1BC1相交于DE，則三棱錐B-B1DE的體積為
3
48
a3
3
48
a3
．

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