Question

2．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD的中點，將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到幾何體D-ABCE，M點是此時BD的中點．

（1）求異面直BE和CM所成角的大��；
（2）求BD與平面ADE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通過線面垂直，求異面直BE和CM所成角的大��；
（2）通過直線與平面垂直，找出BD和平面ADE所成角，然后求出所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD的中點
∴AE=BE=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AE⊥BE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE，
∴BE⊥EF．
取AD中點F，連接EF，MF，則MF平行且等于CE，
∴CEFM是平行四邊形，
∴CF∥EM，
∴BE⊥CM，
∴異面直BE和CM所成角的大小為90°；
（2）因為（1）BE⊥平面ADE，所以BD和平面ADE所成角就是∠BDE，
DE=1，BE=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{3}$
∴BD和面ADE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直，折疊問題，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，計算能力．