Question

13．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{m+2}-\frac{{y}^{2}}{n}$=1與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}$=1有相同的焦點(diǎn)，則橢圓C₁的離心率e₁的取值范圍為$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e₁＜1．

Answer 1

分析 由橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{m+2}-\frac{{y}^{2}}{n}$=1與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}$=1有相同的焦點(diǎn)，可得m＞0，n＜0．因此m+2-（-n）=m-n，解得n=-1．于是橢圓C₁的離心率e₁²=1-$\frac{1}{m+2}$，利用不等式的性質(zhì)和e＜1即可得出．

解答 解：在橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{m+2}-\frac{{y}^{2}}{n}$=1中，a₁²=m+2，b₁²=-n，c₁²=m+2+n，e₁²=$\frac{m+2+n}{m+2}$=1+$\frac{n}{m+2}$．
∵曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}$=1，∴a₂²=m，b₂²=-n，c₂²=m-n．由題意可得m+2+n=m-n，則n=-1．
∴e₁²=1-$\frac{1}{m+2}$．由m＞0，得m+2＞2．
∴0＜$\frac{1}{m+2}$＜$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{m+2}$＞-$\frac{1}{2}$，∴1-$\frac{1}{m+2}$＞$\frac{1}{2}$，即e₁²＞$\frac{1}{2}$．
而0＜e₁＜1，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e₁＜1．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e₁＜1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．