Question

6．對于函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}（sinx+cosx）$，給出下列四個命題：
①存在$α∈（-\frac{π}{2}，0）$，使$f（α）=\sqrt{2}$；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{3π}{4}$對稱；
③存在φ∈R，使函數(shù)f（x+ϕ）的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱；
④函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$就能得到y(tǒng)=-2cosx的圖象．
其中正確命題的序號是②③．

Answer 1

分析 函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}（sinx+cosx）$=2sin（x+$\frac{π}{4}$），依次對各結(jié)論考查可得答案．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}（sinx+cosx）$=2sin（x+$\frac{π}{4}$），
對于①：$α∈（-\frac{π}{2}，0）$，可得α+$\frac{π}{4}$∈（$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$），不存在$f（α）=\sqrt{2}$；∴①不對．
對于②：函數(shù)f（x）的對稱軸方程為：x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+kπ$，可得x=$kπ+\frac{π}{4}$，當k=-1時，可得圖象關(guān)于直線$x=-\frac{3π}{4}$對稱．∴②對．
對于③：函數(shù)f（x+ϕ）=2sin（x+ϕ+$\frac{π}{4}$），當ϕ+$\frac{π}{4}$=kπ，即ϕ=$kπ-\frac{π}{4}$時，圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱；
∴存在φ∈R，使函數(shù)f（x+ϕ）的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱；∴③對．
對于④：函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$，可得：2sin（x$+\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=2cos2x，不能得到y(tǒng)=-2cosx的圖象．∴④不對．
故答案為：②③．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．