Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}a{x}^{3}+\frac{1}{2}b{x}_{2}+cx（a，b，c∈R，a≠0）$的圖象在點(diǎn)（x，f（x））處的切線(xiàn)的斜率為k（x），且函數(shù)g（x）=k（x）-$\frac{1}{2}x$為偶函數(shù)．若函數(shù)k（x）滿(mǎn)足下列條件：①k（-1）=0；②對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式k（x）$≤\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}$恒成立．
（Ⅰ）求函數(shù)k（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=lnx${\;}^{2}-（2m+3）x+\frac{12f（x）}{x}（x＞0）$的兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂）恰為φ（x）=lnx-sx²-tx的零點(diǎn)．當(dāng)m$≥\frac{3\sqrt{2}}{2}$時(shí)，求y=（x₁-x₂）φ′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)g（x）=k（x）-$\frac{1}{2}x$為偶函數(shù)，結(jié)合k（-1）=0，求出a，b，c，即可求函數(shù)k（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求出0$＜\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}≤\frac{1}{2}$，y=（x₁-x₂）φ′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$-$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，再換元，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得k（x）=ax²+bx+c．
∵函數(shù)g（x）=k（x）-$\frac{1}{2}x$為偶函數(shù)，
∴ax²-bx+c+$\frac{1}{2}$x=ax²+bx+c-$\frac{1}{2}x$，
∴（a-$\frac{1}{2}$）x²+$\frac{1}{2}x$+c-$\frac{1}{2}$≤0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{2}＜0}\\{\frac{1}{4}-4（a-\frac{1}{2}）（c-\frac{1}{2}）≤0}\end{array}\right.$
∴a=c=$\frac{1}{4}$．
∵k（-1）=0，∴得k（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=$\frac{1}{12}{x}^{3}$+$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x．
∴h（x）=2lnx+x²+3-2mx，
∴h′（x）=$\frac{2（{x}^{2}-mx+1）}{x}$．
由題意得△=m²-4＞0，x₁+x₂=m，x₁x₂=1
又m$≥\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴解得0$＜\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}≤\frac{1}{2}$．
∵x₁，x₂（x₁＜x₂）恰為φ（x）=lnx-sx²-tx的零點(diǎn)，
∴代入，兩式相減得，$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-s（x₁-x₂）（x₁+x₂）-t（x₁-x₂）=0．
又φ′（x）=$\frac{1}{x}$-2sx-t，從而y=（x₁-x₂）φ′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$-$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．
設(shè)n=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（0$＜n≤\frac{1}{2}$），
則y=（x₁-x₂）φ′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2（n-1）}{n+1}$-lnn（0$＜n≤\frac{1}{2}$），記為M（n）．
M′（n）=$\frac{-（n-1）^{2}}{n（n+1）^{2}}$＜0
∴M（n）在（0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減．
∴M（n）_min=ln2-$\frac{2}{3}$．
故y=（x₁-x₂）φ′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的最小值為ln2-$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查構(gòu)造函數(shù)方法的運(yùn)用，難度大．