Question

14．$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$\frac{1}{{4}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$的值為（　�。�

• A． $\frac{n+1}{2（n+2）}$
• B． $\frac{3}{4}$-$\frac{n+1}{2（n+2）}$
• C． $\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）
• D． $\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$

Answer 1

分析 由$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），運用裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
則$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$\frac{1}{{4}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列求和的方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．