Question

19．已知函數(shù)f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，若$f（{\frac{9π}{4}}）=13-9\sqrt{2}$．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的最小正周期（不需證明最小性）；
（3）是否存在正整數(shù)n，使得f（x）=0在區(qū)間$[{0\;，\;\;\frac{nπ}{2}}）$內(nèi)恰有2015個(gè)根．若存在，求出n的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算x=$\frac{9π}{4}$時(shí)f（x）的值，從而解得a的值；
（2）根據(jù)f（x+π）=f（x），求得f（x）的最小正周期為π；
（3）討論f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)性質(zhì)，即x∈[0，$\frac{π}{2}$]和x∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，f（x）零點(diǎn)的情況，
從而得出存在n=1007，使得f（x）=0在區(qū)間[0，$\frac{nπ}{2}$）內(nèi)恰有2015個(gè)根．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，
令x=$\frac{9π}{4}$，得$\sqrt{2}$a+4+9=13-9$\sqrt{2}$，解得a=-9；
（2）f（x+π）=-9[|sin（x+π）|+|cos（x+π）|]+4sin2（x+π）+9
=-9（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9=f（x）
所以，f（x）的最小正周期為π．
（3）存在n=1007滿(mǎn)足題意；  當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，
f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9；
設(shè)t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），t∈[1，$\sqrt{2}$]，
則sin2x=2sinxcosx=t²-1，
于是f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9=4t²-9t+5，
令4t²-9t+5=0，得t=1或t=$\frac{5}{4}$∈[1，$\sqrt{2}$]，
于是x=0，$\frac{π}{2}$，或x=x₀（0＜x₀＜$\frac{π}{4}$）或x=$\frac{π}{2}$-x₀，
其中sin（x₀+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
當(dāng)x∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9．
設(shè)t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），t∈（1，$\sqrt{2}$]，
則sin2x=2sinxcosx=1-t²，
于是f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9=-4t²-9t+13，
令-4t²-9t+13=0，解得t=1或t=-$\frac{13}{4}$∉（1，$\sqrt{2}$]，
故f（x）在x∈（$\frac{π}{2}$，π）沒(méi)有實(shí)根．
綜上討論可得，f（x）=0在[0，π）上有4根，
而2015=4×503+3，在[0，503π]有2013個(gè)根，在[0，504π]上有2017個(gè)根，
故存在n=1007，使得f（x）=0在區(qū)間[0，$\frac{nπ}{2}$）內(nèi)恰有2015個(gè)根．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，任意角的三角函數(shù)，正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．