Question

14．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足$f（x）=\left\{\begin{array}{l}cosx\;，\;\;sinx≤cosx\\ sinx\;，\;\;sinx＞cosx\end{array}\right.$，給出以下結論：
①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）的最小值為-1；
③當且僅當x=2kπ，k∈Z時，f（x）取得最小值；
④當且僅當$2kπ-\frac{π}{2}＜x＜（{2k+1}）π$，k∈Z時，f（x）＞0；
⑤f（x）的圖象上相鄰兩個最低點的距離是2π，
其中正確的結論序號是①④⑤．

Answer 1

分析 f（x）的含義是取y=sinx和y=cosx的較大者，所以先在同一坐標系內畫出y=sinx和y=cosx的圖象，然后取上方的部分，就得到f（x）的圖象．畫出圖象來之后，就很容易的找出單調區(qū)間，最大最小值，同時也容易得出周期來．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象，實線即為f（x）的圖象．
由圖象可知，f（x）為周期函數(shù)，T=2π，所以①正確．
函數(shù)f（x）的最大值為1，最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以②錯誤．
當且僅當x=2kπ+$\frac{5}{4}π$，k∈Z時，f（x）取得最小值，所以③錯誤；
④當且僅當$2kπ-\frac{π}{2}＜x＜（{2k+1}）π$，k∈Z時，f（x）＞0，正確；
⑤f（x）的圖象上相鄰兩個最低點的距離是2π，正確，
故答案為：①④⑤．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的思想去研究，是解決本題的關鍵．