Question

13．已知a∈R，函數(shù)$f（x）=\frac{a}{x}+lnx-1$．
（Ⅰ）當(dāng)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線$y=\frac{1}{2}x-1$垂直時(shí)，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，垂直時(shí)斜率之積為-1求解；
（Ⅱ）通過討論函數(shù)單調(diào)性，分類求最值．

解答 解：1）∵f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1，（x＞0）．
∴f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，（x＞0）．，∴f′（1）=1-a．
∴（1-a）×$\frac{1}{2}$=-1，即a=3．
（Ⅱ）f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
∴當(dāng)a≤0 時(shí)，f′（x）＞0在區(qū)間（0，e]上恒成立，
f（x）在（0，e]上遞增，所以f（x）無最小值．
當(dāng)0＜a＜e時(shí)，f′（x）＞0在區(qū)間（a，e]上恒成立，
f（x）在（a，e]上遞增，f′（x）＜0在區(qū)間（0，a]上恒成立，f（x）在（0，a]上遞減，
所以f（x）的最小值為f（a）=lna．
當(dāng)a≥e時(shí)，f′（x）＜0在區(qū)間（0，e]上恒成立，f（x）在（0，e]上遞減，
所以f（x）的最小值為f（e）=$\frac{a}{e}$
綜上：當(dāng) a≤0 時(shí)，f（x）無最小值．
當(dāng)0＜a＜e時(shí)，f（x）的最小值為f（a）=lna．
當(dāng)a≥e時(shí)，f（x）的最小值為f（e）=$\frac{a}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的切線、單調(diào)性、最值問題，屬于中檔題．