Question

3．已知函數f（x）=a（x+1）²-4lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=$\frac{1}{2}$，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意x∈[1，e]，f（x）＜1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），代入切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，求出f（x）的最大值，結合對任意x∈[1，e]，f（x）＜1恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由$a=\frac{1}{2}$得f（1）=2…1
${f^/}（x）=x+1-\frac{4}{x}，{f^/}（1）=-2$…3
則所求切線方程為y-2=-2（x-1），即y=-2x+4…4
（Ⅱ）${f^/}（x）=2a（x+1）-\frac{4}{x}=\frac{{2（a{x^2}+ax-2）}}{x}，x＞0$…5
令g（x）=ax²+ax-2．
當a=0時，${f^/}（x）=-\frac{4}{x}＜0$，f（x）在[1，e]上單調遞減，
[f（x）]_max=f（1）=0＜1，恒成立，符合題意…6
當a＜0時，g（x）=ax²+ax-2，開口向下，對稱軸為$x=-\frac{1}{2}$，且g（0）=-2＜0，
所以當x∈[1，e]時，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上單調遞減，
[f（x）]_max=f（1）=0＜1，恒成立，符合題意…8
當a＞0時，g（x）=ax²+ax-2的開口向上，對稱軸為$x=-\frac{1}{2}$，g（0）=-2＜0，
所以g（x）=ax²+ax-2在（0，+∞）單調遞增，故存在唯一x₀∈（0，+∞），
使得g（x₀）=0，即f′（x₀）=0…9
當0＜x＜x₀時，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x＞x₀時，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
所以在[1，e]上，[f（x）]_max=max{f（1），f（e）}．
所以$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）＜1}\\{f（e）＜1}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{4a＜1}\\{a{{（e+1）}^2}-4＜1}\end{array}}\right.$，得$a＜\frac{1}{4}$．所以 $0＜a＜\frac{1}{4}$…11
綜上，a得取值范圍是$（-∞，\frac{1}{4}）$…12

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．