Question

4．（1）判斷并證明函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$的奇偶性；
（2）證明函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在x∈[2，+∞） 上是增函數(shù)，并求f（x）在[4，8]上的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，利用奇函數(shù)的定義進行判斷；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法證明，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求f（x）在[4，8]上的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
理由：函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
f（-x）=-x-$\frac{4}{x}$=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：∵f（x）=x+$\frac{4}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
∵x＞2，∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在x∈[2，+∞） 上是增函數(shù)，
∴f（x）在[4，8]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[4，8]上的值域是[5，$\frac{17}{2}$]．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．