(2013•朝陽區(qū)二模)為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,某地區(qū)舉辦了小學(xué)生“數(shù)獨比賽”.比賽成績共有90分,70分,60分,40分,30分五種,按本次比賽成績共分五個等級.從參加比賽的學(xué)生中隨機抽取了30名學(xué)生,并把他們的比賽成績按這五個等級進(jìn)行了統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù)表:
成績等級 A B C D E
成績(分) 90 70 60 40 30
人數(shù)(名) 4 6 10 7 3
(Ⅰ)根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù),試估計從本地區(qū)參加“數(shù)獨比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人,其成績等級為“A 或B”的概率;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)論,若從該地區(qū)參加“數(shù)獨比賽”的小學(xué)生(參賽人數(shù)很多)中任選3人,記X表示抽到成績等級為“A或B”的學(xué)生人數(shù),求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX;
(Ⅲ)從這30名學(xué)生中,隨機選取2人,求“這兩個人的成績之差大于20分”的概率.
分析:(I)本題是一個統(tǒng)計問題,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),從而得出從本地區(qū)參加“數(shù)獨比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人,其成績等級為“A 或B”的概率得到結(jié)果.
(II)由題意知由題意知隨機變量X可取0,1,2,3,結(jié)合變量對應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式寫出變量的概率,寫出分布列和做出期望值.
(III)設(shè)事件M:從這30名學(xué)生中,隨機選取2人,這兩個人的成績之差大于20分.設(shè)從這30名學(xué)生中,隨機選取2人,記兩個人的成績分別為m,n.得到基本事件的總數(shù),不妨設(shè)m>n,再對m,n的取值情形進(jìn)行分類討論算出各自的基本事件數(shù),最后根據(jù)概率公式計算即可求得事件M的概率.
解答:解:(I)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知,從本地區(qū)參加“數(shù)獨比賽”的30名小學(xué)生中任意抽取一人,其成績等級為“A 或B”的概率為
4
30
+
6
30
=
1
3
,
即從本地區(qū)參加“數(shù)獨比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人,其成績等級為“A 或B”的概率為
1
3

(II)由題意知隨機變量X可取0,1,2,3,
∴P(X=0)=C
 
0
3
1
3
0
2
3
3=
8
27
;P(X=1)=C
 
1
3
1
3
1
2
3
2=
4
9
;
P(X=2)=C
 
2
3
1
3
2
2
3
)=
2
9
;
P(X=3)=C
 
3
3
1
3
3
2
3
0=
1
27

所以X的分布列為(必須寫出分布列,否則扣1分)
X 0 1 2 3
P
8
27
4
9
2
9
1
27
…(11分)
故Eξ=0×
8
27
+1×
4
9
+2×
2
9
+3×
1
27
=1,所求期望值為1.
(III)設(shè)事件M:從這30名學(xué)生中,隨機選取2人,這兩個人的成績之差大于20分.
設(shè)從這30名學(xué)生中,隨機選取2人,記兩個人的成績分別為m,n.
則基本事件的總數(shù)為
C
2
30
,
不妨設(shè)m>n,
當(dāng)m=90時,n=60或40或30,基本事件的數(shù)為C
 
1
4
(C
 
1
10
+C
 
1
7
+C
 
1
3
);
當(dāng)m=70時,n=40或30,基本事件的數(shù)為C
 
1
6
(C
 
1
7
+C
 
1
3
);
當(dāng)m=60時,n=30,基本事件的數(shù)為C
 
1
10
C
 
1
3

∴P(M)=
C
1
4
(
C
1
10
+
C
1
7
+
C
1
3
)+
C
1
6
(
C
1
7
+
C
1
3
)+
C
1
10
C
1
3
C
2
30
=
34
87

∴從這30名學(xué)生中,隨機選取2人,“這兩個人的成績之差大于20分”的概率為
34
87
點評:本題考查等可能事件的概率,考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率,考查離散型隨機變量的分布列和期望,本題是一個典型的綜合題目.
練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求實數(shù)a的值及參加“擲實心球”項目測試的人數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)此次測試成績的結(jié)果,試估計從該市初二年級男生中任意選取一人,“擲實心球”成績?yōu)閮?yōu)秀的概率;
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8
8
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-n2+9n
-n2+9n

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PA
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A
2
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A
2
)
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A
2
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A
2

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(Ⅱ)若f(A)=0,C=
12
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6
,求b的值.

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