Question

【題目】已知函數(shù)在x=1處取得極值2．

（1）求f(x)的解析式；

（2）設(shè)函數(shù) ，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).

【解析】分析：（1）求導(dǎo)可得，由題意可得,，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，則函數(shù)的解析式為.

（2）結(jié)合(1)的結(jié)論可得在上最小值為，則，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)最小值為，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，明顯不合題意，綜上所述，的取值范圍為.

詳解：（1），

因?yàn)?/span>在處取到極值為2，所以,，

，解得，，

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)在處取得極值．故.

（2）由（1）所以在上單調(diào)遞增，

所以在上最小值為所以在上最小值為，

依題意有，

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，其最小值為，合題意；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有，單調(diào)遞減，

在上有，單調(diào)遞增，

所以函數(shù)最小值為，

解不等式，得到

從而知符合題意.

③當(dāng)時(shí)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，其最小值為，舍去.

綜上所述，的取值范圍為.