Question

1．已知函數$f（x）=\frac{1-x}{ax}+lnx$（其中a＞0，e≈2.7）．
（Ⅰ）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1時，求函數f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上的最大值和最小值；
（Ⅲ）當a=1時，求證：對于任意大于1的正整數n，都有$lnn＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數f（x）的導數f′（x），由題意可知：當x≥1時，f′（x）≥0恒成立，解出a的取值范圍即可．
（Ⅱ）求導函數，確定函數的單調性，比較端點的函數值，即可求得結論；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結論，只要令a=1，x=$\frac{n}{n-1}$即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{1-x}{ax}+lnx$，∴${f^'}（x）=\frac{ax-1}{{a{x^2}}}（a＞0）$，
∵函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，
∴f′（x）≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立．
∴ax-1≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，
即$a≥\frac{1}{x}$對任意x∈[1，+∞）恒成立．
∵x∈[1，+∞）時，${（\frac{1}{x}）_{max}}=1$，
∴所求正實數a的取值范圍是a≥1．
（Ⅱ）當a=1時，${f^'}（x）=\frac{x-1}{x^2}$，
∴當$x∈[\frac{1}{2}，1）$時，f′（x）＜0，
故f（x）在$[\frac{1}{2}，1）$上單調遞減；
∴當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，
故f（x）在（1，2]上單調遞增；
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上有唯一極小值點，且為最小值點，最小值為f（1）=0，
∵f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2，f（2）=-$\frac{1}{2}$+ln2，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值為1-ln2；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知lnx≥-$\frac{1-x}{x}$，
令x=$\frac{n}{n-1}$，則ln $\frac{n}{n-1}$≥$\frac{1}{n}$，
∴l(xiāng)n$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln $\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，
即$lnn＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$．

點評 本題考查了利用導數求函數的單調區(qū)間、最值及證明不等式，充分理解導數的意義及掌握恰當分類討論思想和轉化思想是解題的關鍵．