Question

12．已知函數(shù)y=xe^x+x²+2x+a恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$+1]
• B． （-∞，$\frac{1}{e}$+1）
• C． （$\frac{1}{e}$+1，+∞）
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 利用函數(shù)的零點(diǎn)就是方程法根，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)g（x）的值域，然后推出a的范圍即可．

解答 解：函數(shù)y=xe^x+x²+2x+a恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
就是xe^x+x²+2x+a=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
設(shè)：g（x）=xe^x+x²+2x，
則g′（x）=e^x+xe^x+2x+2，
=（x+1）（e^x+2），
x＜-1，g′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，x＞-1，g′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
函數(shù)的最小值為：g（-1）=-1-$\frac{1}{e}$，
則a＜1+$\frac{1}{e}$．
函數(shù)y=xe^x+x²+2x+a恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（-∞，$\frac{1}{e}$+1）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．