Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=acosϕ y=bsinϕ

（a＞b＞0，ϕ為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂是圓心在極軸上，且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓．已知曲線C₁上的點(diǎn)M(1，

3

2

)對(duì)應(yīng)的參數(shù)ϕ=

π

3

，射線θ=

π

3

與曲線C₂交于點(diǎn)D(1，

π

3

)．
（Ⅰ）求曲線C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)在曲線C₁上，求

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）由于曲線C₁上的點(diǎn)M(1，

3

2

)對(duì)應(yīng)的參數(shù)ϕ=

π

3

，可得

1=acos π 3 3 2 =bsin π 3

，解得a，b．即可得出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程．由于曲線C₂是圓心在極軸上，且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓，射線θ=

π

3

與曲線C₂交于點(diǎn)D(1，

π

3

)．可得圓的直徑2R=

1

cos π 3

=2，即可得出曲線C₂的方程．
（II）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入曲線C₁的直角坐標(biāo)方程：

x2

4

+y2=1．可得ρ2=

4

1+3sin2θ

．即可得出

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

．

解答： 解：（I）∵曲線C₁上的點(diǎn)M(1，

3

2

)對(duì)應(yīng)的參數(shù)ϕ=

π

3

，∴

1=acos π 3 3 2 =bsin π 3

，解得

a=2 b=1

，
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為：

x2

4

+y2=1．
∵曲線C₂是圓心在極軸上，且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓，射線θ=

π

3

與曲線C₂交于點(diǎn)D(1，

π

3

)．
∴圓的直徑2R=

1

cos π 3

=2，∴曲線C₂的方程為（x-1）²+y²=1．
（II）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入曲線C₁的直角坐標(biāo)方程：

x2

4

+y2=1．
可得ρ2=

4

1+3sin2θ

．
∴

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

=

1+3sin2θ

4

+

1+3sin2(θ+ π 2 )

4

=

2+3sin2θ+3cos2θ

4

=

2+3

4

=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程、圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．