Question

數(shù)列{a_n}的前項和記為S_n，a₁=1，且滿足a_n+1=2S_n+1（n∈N⁺）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）對n∈N⁺，在a_n與a_n+1之間插入3ⁿ個數(shù)，使這3ⁿ+2個數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這3ⁿ個數(shù)的和為b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）首先利用利用數(shù)列的遞推關系式和定義證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（2）由（1）的結(jié)論得出數(shù)列的通項公式，然后利用在a_n與a_n+1之間插入3ⁿ個數(shù)，使這3ⁿ+2個數(shù)成等差數(shù)列
得出b_n的通項公式，進一步利用等比數(shù)列的前n項和求解．

解答： 證明：（1）數(shù)列數(shù)列{a_n}的前項和記為S_n，且滿足an+1=2Sn+1(n∈N+)．
則：a_n=2S_n-1+1（n≥2）；
兩式相減得：a_n+1-a_n=2a_n，
即：

an+1

an

=3（常數(shù)），

a2

a1

=3，
∴當n≥1時數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．
（2）對n∈N⁺，在a_n與a_n+1之間插入3ⁿ個數(shù)，使這3ⁿ+2個數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這3ⁿ個數(shù)的和b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
由（1）得an=3n-1，所以bn=

an+an+1

2

•3n=2•32n-1
所以Tn=2•

3(1-9n)

1-9

=

3

4

•(9n-1)

點評：本題考查的知識點：利用數(shù)列的遞推關系式和定義證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，等差中項的定義的應用，等比數(shù)列的前n項和．